一、三角函数的图像与对称性

1. 正切函数的对称中心

• 核心性质：正切函数\(y = \tan(\omega x + \varphi)\)的对称中心为\(\left(\frac{k\pi}{2\omega} - \frac{\varphi}{\omega}, 0\right)\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），对称中心横坐标满足\(\omega x + \varphi = \frac{k\pi}{2}\)。
• 应用场景：已知对称中心坐标求参数最小值（如第 1 题，\(y = 2\tan\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\)的对称中心为\(\left(\frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}, 0\right)\)，\(a > 0\)时\(k=0\)得\(a_{\text{min}} = \frac{\pi}{3}\)）。

• 对称轴与对称中心：正弦函数\(y = \sin(\omega x + \varphi)\)的对称轴为\(x = \frac{\frac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），对称中心为\(\left(\frac{m\pi - \varphi}{\omega}, 0\right)\)（\(m \in \mathbb{Z}\)），且对称轴与相邻对称中心的距离为\(\frac{(2n+1)T}{4}\)（T为周期，\(n \in \mathbb{Z}\)）。
• 单调性与周期关系：若函数在\([a, b]\)上单调递增，则周期\(T \geq 2(b - a)\)（如第 3 题，\(f(x)\)在\(\left[-\frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]\)上单调，故\(\frac{\pi}{\omega} \geq \frac{\pi}{2}\)，得\(0 < \omega \leq 2\)，结合对称轴与对称中心求得\(\omega = 2\)、\(\varphi = \frac{\pi}{3}\)）。

二、三角函数的求值与值域

1. 余弦函数的值域

• 利用单调性求值域：根据余弦函数\(y = \cos x\)的单调性（\([-\frac{\pi}{2}, 0]\)递增，\([0, \frac{\pi}{2}]\)递减），计算区间端点函数值确定值域（如第 4 题，\(y = \cos x\)在\(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right]\)上，\(f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0\)、\(f(0) = 1\)、\(f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，故值域为\([0, 1]\)）。

• 公式应用：利用两角和 / 差的余弦公式\(\cos(A \pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B\)，将复杂函数化简为 “\(A\cos(\omega x + \varphi)\)” 形式，再根据余弦函数值域求范围（如第 7 题 (2)，\(g(x) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos 2x\)化简为\(\sqrt{3}\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)\)，值域为\([-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\)）。

三、三角函数的性质与条件判断

1. 充分必要条件判断

• 逻辑推导：若 “\(p \Rightarrow q\)” 则p是q的充分条件；若 “\(q \Rightarrow p\)” 则p是q的必要条件（如第 2 题，\(x=0 \Rightarrow \sin 2x = 0\)，但\(\sin 2x = 0\)时x可为\(\pi\)，故 “\(x=0\)” 是 “\(\sin 2x = 0\)” 的充分不必要条件）。

• 利用正弦、余弦的对称性：若\(\sin A = \sin B\)，则\(A = B + 2k\pi\)或\(A = \pi - B + 2k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）；若\(\cos A \neq \cos B\)，则\(A \neq \pm B + 2k\pi\)。结合条件推导角的关系（如第 5 题，\(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha - \beta)\)得\(\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi\)，\(\cos(\alpha + \beta) \neq \cos(\alpha - \beta)\)排除共线情况，取\(\alpha = \frac{\pi}{2}\)、\(\beta = \frac{\pi}{6}\)）。

四、抽象函数与三角函数结合

1. 函数方程与单调性

• 存在性判断：通过构造函数或反证法，判断是否存在满足 “\(f(x) + f(2x) = -x\)”“\(f(x) - f(2x) = x\)” 等方程的单调函数（如第 6 题，①假设增函数满足\(f(x) + f(2x) = -x\)，推出\(x < 0\)矛盾，故①错误；②构造\(f(x) = -x\)（减函数）满足\(f(x) - f(2x) = x\)，故②正确）。
• 奇偶性与函数方程：若\(f(x) + f(-x) = \cos x\)，可设\(f(x) = \frac{1}{2}\cos x + g(x)\)（\(g(x)\)为奇函数），\(g(x)\)有无穷多个，故③正确；若\(f(x) - f(-x) = \cos x\)，令\(x=0\)得\(0 = 1\)矛盾，故④错误）。

• 周期集合\(M_a\)：\(M_a = \{x | f(x+a) = f(x)\}\)，即满足周期为a的x的集合（如第 8 题 (1)，\(f(x) = \sin x\)，\(f\left(\frac{\pi}{3} + \pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \neq f\left(\frac{\pi}{3}\right)\)，故\(\frac{\pi}{3} \notin M_{\pi}\)）。
• 分段函数与\(M_a\)：分段函数\(f(x)\)的\(M_a \neq \emptyset\)意味着存在\(x_0\)使\(f(x_0 + a) = f(x_0)\)，需结合分段区间单调性分析（如第 8 题 (2)，\(x_0 < 0 \leq x_0 + a\)，得\(x_0 + 2 = \sqrt{x_0 + a}\)，转化为二次函数求a的范围\(\left[\frac{7}{4}, 4\right)\)）。

五、三角函数与函数奇偶性、零点

1. 偶函数的解析式推导

• 利用奇偶性与周期集合关系：偶函数\(f(x)\)满足\(f(x) = f(-x)\)，结合\(M_a \subseteq M_2\)（即周期a的解必为周期 2 的解），推导未知区间解析式（如第 8 题 (3)，\(x \in (1,2)\)时，\(2 - x \in (0,1)\)，故\(f(x) = f(2 - x) = x - 1\)）。

• 分类讨论c的范围：将\(y = f(x) - c\)的零点转化为\(f(x) = c\)的解，结合函数图像（如偶函数在\([-3,3]\)的对称性、区间单调性），分\(c = 0\)、\(c \geq 1\)、\(c < 0\)、\(0 < c < 1\)讨论，得出最多 9 个零点（如第 8 题 (3)，\(0 < c < 1\)时在 6 个区间各有 1 解，结合\(x=-2,0,2\)共 9 个）。

六、三角恒等变换的应用

1. 公式记忆与化简

• 核心公式：两角和的余弦公式\(\cos(A + B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B\)、两角差的余弦公式\(\cos(A - B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B\)，用于将多个三角函数项合并为单一三角函数（如第 7 题 (2)，将\(\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos 2x\)化简为\(\sqrt{3}\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)\)）。

• 整体代入法：对于\(y = A\cos(\omega x + \varphi)\)，令\(2k\pi \leq \omega x + \varphi \leq \pi + 2k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）得递减区间，令\(\pi + 2k\pi \leq \omega x + \varphi \leq 2\pi + 2k\pi\)得递增区间（如第 7 题 (2)，\(g(x) = \sqrt{3}\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)\)的递减区间为\(\left[-\frac{\pi}{12} + k\pi, \frac{5\pi}{12} + k\pi\right]\)，递增区间为\(\left[\frac{5\pi}{12} + k\pi, \frac{11\pi}{12} + k\pi\right]\)）。